Algebra lineal

02.06.2011 01:12

 

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

 

Conceptos básicos

Representación gráfica de la suma de dos vectores en \mathbb{R}^2.

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n} (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.

Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.

Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2 corresponde a un plano cartesiano XY y \mathbb{R}^3 es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.

Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.

El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:

r \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).

Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:

T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.

El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

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